TI-S2

Iets Uitrekenen

Er zijn momenten in het leven dat je het nodig hebt om “gewoon even iets te kunnen uitrekenen”.
Na het bestuderen van dit materiaal – en het stellen van vragen waar nodig, moet je daartoe in staat zijn. Er is niet veel meer voor nodig dan het goed toepassen wat je op de lagere school hebt geleerd.
Dat kan een beetje zijn weggezakt. Daarom refreshen we eerst dat deel.

Tips voor het doornemen:

• Houd pen en kladpapier bij de hand. Kijk of je de rekenstappen zonder (veel) te spieken op papier na kunt doen.

• Als na een eerste keer doorlezen een en ander nog niet helemaal duidelijk is, laat je dan met een van de bijgevoegde video-links een en ander voor doen.

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen is herhaald optellen.
Dus 5 • 3 kun je lezen als 5 + 5 + 5, of als 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

Een vermenigvuldiging noemen wel ook wel een product. Op de lagere school schreven we dat als X, maar dat teken gebruiken we nu om een variabele mee aan te duiden. We schrijven het nu als ” • ” of “* ”. In veel gevallen schrijven we hem zelfs niet op: 5x betekent hetzelfde als 5•x.

Factoren

De argumenten van een vermenigvuldiging, van een product, noemen we factoren.
Voorbeeld:
5•3 + 2•7•3 - 2•9
In bovenstaande voorbeeld zien we vermenigvuldigingen en optellingen. De getallen die deelnemen aan de vermenigvuldigingen, zoals 2, 7 en 3 bij de tweede vermenigvuldiging, noemen we factoren.

Haakjes en Termen

Rond factoren staan in onze gedachten altijd haakjes. Dus eigenlijk betekent bovenstaande voorbeeld:
(5•3) + (2•7•3) - (2•9)
De operaties binnen haakjes hebben voorrang, dus eerst moeten de factoren worden uitvermenigvuldigd. Daarna pas mogen ze worden opgeteld of afgetrokken.
Dingen die je bij elkaar optelt of aftrekt, heten termen. In het bovenstaande voorbeeld vormen de producten 5•3, 2•7•3 en 2•9 de termen die bij elkaar opgeteld of afgetrokken worden.

Delen

Delen is herhaald aftrekken. We schreven dat op de lagere school vaak als :, in software vaak als / , maar bij voorkeur (handgeschreven) als horizontale deelstreep (zie breuken hieronder).

Voorbeeld: 15/3 kun je herschrijven als 5, omdat je 5 keer 3 van 15 kunt aftrekken.
Soms past het niet: 17/3 zou je kunnen herschrijven als 5 rest 2 derde, oftewel 5 2/3. Het getal 3 kan immers vijf keer compleet van 17 afgetrokken worden. Vervolgens nog een restje ter grootte van 2 van de laatste 3. Maar deze moeite nemen we normaal gesproken niet. 17/3 laten staan is makkelijker en veel flexibeler als je nog verder wilt rekenen.

Wat is een breuk?

Een breuk is een deling. Dat wat je wilt delen is de teller. Dat waardoor je deelt heet de noemer. Ezelsbruggetje: “Teller” is duits voor “bord” en het bord staat op de tafel (de deelstreep lijkt op een tafel, toch?).
breuk = $\Large \frac{teller}{noemer}\normalsize $

Hoe vermenigvuldig je twee breuken?

“Teller keer teller en noemer keer noemer”

$\frac{2}{5} \bullet \frac{3}{4} = \frac{6}{20} $

NB: een geheel getal is ook te schrijven als een breuk: $2 = \Large \frac{2}{1}\normalsize $
video breuken vermenigvuldigen

Hoe deel je twee breuken?

Onthoud goed: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”
$\Large \frac{\Large \frac{2}{5}\normalsize \ }{\Large \frac{3}{4}\normalsize } = \Large \frac{2}{5}\normalsize \small \bullet \normalsize \Large \frac{4}{3}\normalsize $

Wat is herleiden?

Herleiden is het herschrijven van een wiskundige formule of breuk naar een eenvoudigere vorm, die equivalent is. Een voorbeeld van herleiden is het vereenvoudigen van een breuk. Bijvoorbeeld $\frac{1}{2}$ is equivalent met $\frac{2}{4}$, maar eenvoudiger.

Hoe vereenvoudig je een breuk?

Het kan voorkomen dat teller en noemer van een breuk deelbaar zijn door hetzelfde hele getal.
In dat geval kun je die deling uitvoeren om de breuk eenvoudiger te schrijven.
$\Large \frac{20}{25}\normalsize = \Large \frac{20 \small \bullet \normalsize \Large \frac{1}{5}\normalsize \ }{25 \small \bullet \normalsize \Large \frac{1}{5}\normalsize } = \Large \frac{4}{5}\normalsize $
Bovenstaand is zowel teller als noemer deelbaar door 5.
NB: als je teller en noemer van een breuk vermenigvuldigt met hetzelfde getal, herschrijf je de breuk zonder zijn waarde te veranderen.
$\Large \frac{10}{5}\normalsize = \Large \frac{20}{10}\normalsize = \Large \frac{\Large \frac{20}{5}\normalsize \ }{\Large \frac{10}{5}\normalsize } = \Large \frac{4}{2}\normalsize = \Large \frac{2}{1}\normalsize = 2$

video breuken vereenvoudigen
ext video breuken met cijfers vereenvoudigen
ext video breuken met variabelen vereenvoudigen (eerste 3 minuten)

Hoe tel je breuken bij elkaar op?

**Stap 1: gelijknamig maken** Als de noemers niet gelijk zijn, maak ze dan gelijk.
Dat doe je door teller en noemer van de ene breuk te vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk (en vice versa).

$\Large \frac{2}{5}\normalsize + \Large \frac{4}{3}\normalsize = \Large \frac{2 \small \bullet \Large 3}{5 \small \bullet \Large 3}\normalsize + \Large \frac{4 \small \bullet \Large 5}{3 \small \bullet \Large 5}\normalsize = \Large \frac{6}{\mathbf{15}} + \Large \frac{20}{\mathbf{15}}$

**Stap 2: tellers optellen** Zodra de noemers gelijk zijn, kan er worden opgeteld:

$\Large \frac{6}{15}\normalsize + \Large \frac{20}{15}\normalsize = \Large \frac{6 + 20}{15}\normalsize = \Large \frac{26}{15}\normalsize $

video breuken optellen

Min teken

Je weet misschien wel dat je een combinatie van 2 getallen een “2-dimensionale vector” kunt noemen. Dat is een pijl in een 2d-plaatje. In het onderstaande plaatje is het getal 2 afgebeeld: een pijl vanuit 0 met lengte 2 die naar rechts wijst.

Een min-teken voor een getal betekent dat de pijl van richting omklapt. Onderstaande plaatje beeldt het getal -2 af:

Er moet dus gelden:
- - 2 = 2
- - - - 2 = 2
(richting klapt een even aantal keren om, en blijft gelijk)

- - -2 = -2
- - - - -2 = -2
(richting klapt een oneven aantal keren om, en is netto omgeklapt)

NB: het noteren van een – teken betekent hetzelfde als dat je wat er stond vermenigvuldigt met -1.  − 5 =  − 1 • 5
1 +  − 5 = 1 − 5

Haakjes uitvermenigvuldigen

Hoe kun je haakjes uitvermenigvuldigen bij vermenigvuldigen met een getal?

Vermenigvuldig met elk van de delen en tel ze op. Hieronder vind je 3 voorbeelden.

$(1)\ 5 \small \bullet \normalsize \left( \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 + 3 \right) = 5 \small \bullet \normalsize \Large \frac{4}{3}\normalsize + 5 \small \bullet \normalsize 2 + 5 \small \bullet \normalsize 3$

$(2)\ - 5 \small \bullet \normalsize \left( - \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 - 3 \right) = - 5 \small \bullet \normalsize - \Large \frac{4}{3}\normalsize + - 5 \small \bullet \normalsize 2 + - 5 \small \bullet \normalsize - 3 = \Large \frac{20}{3}\normalsize - 10 + 15$

$(3)\ - \left( - \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 - 3 \right) = - 1 \small \bullet \normalsize \left( - \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 - 3 \right) = - 1 \small \bullet \normalsize - \Large \frac{4}{3}\normalsize + - 1 \small \bullet \normalsize 2 + - 1 \small \bullet \normalsize - 3 = \Large \frac{4}{3}\normalsize - 2 + 3$

Hoe kun je haakjes uitvermenigvuldigen bij vermenigvuldigen met andere haakjes?

Vermenigvuldig elk van de termen links met elk van de termen rechts en tel ze op. ${\left( 2 - \Large \frac{2}{5}\normalsize \right) \small \bullet \normalsize \left( - \Large \frac{4}{3}\normalsize + 6 + 7 \right) = 2 \small \bullet \normalsize - \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 \small \bullet \normalsize 6 + 2 \small \bullet \normalsize 7 + \ - \Large \frac{2}{5}\normalsize \small \bullet \normalsize - \Large \frac{4}{3}\normalsize + - \Large \frac{2}{5}\normalsize \small \bullet \normalsize 6 + - \Large \frac{2}{5}\normalsize \small \bullet \normalsize 7 }$

Je kunt dit eventueel nog verder vereenvoudigen door gelijknamig te maken en op te tellen: $- \Large \frac{8}{3}\normalsize + 12 + 14 + \Large \frac{8}{15}\normalsize - \Large \frac{12}{5}\normalsize - \Large \frac{14}{5}\normalsize = - \Large \frac{8}{3}\normalsize + 26 + \Large \frac{8}{15}\normalsize + - \Large \frac{26}{5}\normalsize = \ 26 - \Large \frac{8}{3}\normalsize \small \bullet \normalsize \Large \frac{5}{5}\normalsize + \Large \frac{8}{15}\normalsize - \Large \frac{26}{5}\normalsize \small \bullet \normalsize \Large \frac{3}{3}\normalsize $

$= 26 - \Large \frac{40}{15}\normalsize + \Large \frac{8}{15}\normalsize + \Large \frac{78}{15}\normalsize = 26 + \Large \frac{- 40 + 8 + 78}{15}\normalsize = 26 + \Large \frac{46}{15}\normalsize = 26 + 3\Large \frac{1}{15}\normalsize = 29\Large \frac{1}{15}\normalsize $

video haakjes uitvermenigvuldigen
ext video haakjes wegwerken (eerste 4 minuten)
ext video haakjes wegwerken (eerste 3 minuten)

Buiten haakjes halen

De bovenstaande stappen kun je ook de andere kant op uitvoeren.
Je kunt een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen.
$\Large \frac{20}{3}\normalsize - 10 + 15 = 5 \small \bullet \normalsize \Large \frac{4}{3}\normalsize + 5 \small \bullet \normalsize 2 + 5 \small \bullet \normalsize 3 = 5 \small \bullet \normalsize \left( \Large \frac{4}{3}\normalsize + 2 + 3 \right)$

video buiten haakjes halen
ext video buiten haakjes halen

Vergelijking oplossen

Als je iets wilt uitrekenen, is er in het algemeen sprake van een vergelijking. Een vergelijking is bewering dat het deel dat links van het = teken staat gelijk is aan wat er rechts aan staat.

Voorbeeld:
 − x + 5 • c =  − 5

Binnen zo’n vergelijking is er altijd een “variabele” die je wilt uitrekenen. Die noemen we “de onbekende”. Laten we zeggen dat in bovenstaande vergelijking x “de onbekende” is. Al het andere, zoals c zijn constantes die we kennen (“bekenden”).

Het uitrekenen van x (de onbekende) noemen we het “oplossen van de vergelijking”.
Je maakt daarbij gebruik van de volgende eigenschap: als je met links en rechts van de vergelijking hetzelfde doet, blijft ze gelden.

Als  − x + 5 • c =  − 5 waar is, moet het nog steeds waar zijn als we links en rechts 5 • c er vanaf trekken:
 − x + 5 • c − 5 • c =  − 5− 5 • c
    <->      − x =  − 5− 5 • c

Als dat waar is moet het nog steeds waar zijn als we links en rechts alles vermenigvuldigen met -1:

 − 1 •  − x =  − 1 • (−5− 5•c)
    <->     x =  − 1 •  − 5 +  − 1 •  − 5 • c
    <->     x = 5 + 5 • c

De onbekende x is nu aan een kant geschreven. Daarmee is de vergelijking opgelost: de onbekende is een bekende geworden. Voor elke bekende waarde die constante c kan zijn, is nu bekend wat de bijbehorende waarde van x moet zijn.

Een methode die altijd werkt

Voorbeeld:
$- \Large \frac{4}{- 3(x + 1) + 1}\normalsize + c = - 5$

x is de onbekende. c is een bekende constante.

Je kunt zo’n vergelijking altijd systematisch oplossen door de volgende stappen te doorlopen:

1.   Vermenigvuldig alle haakjes met x uit.

2.   Verkas alle termen met x naar een kant, en de rest naar de andere kant.

3.   Als x in een of meer noemers voorkomt:
a. Vermenigvuldig links en rechts met de top-level noemers waar x in voorkomt.
b. goto 1

4.   Haal x buiten haakjes

5.   Deel links en rechts door de factor tussen haakjes.

Stap 1 toepassen: Vermenigvuldig alle haakjes met x uit

$- \Large \frac{4}{- 3(x + 1) + 1}\normalsize + c = - 5 $     <->    
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x + - 3 \small \bullet \normalsize 1 + 1}\normalsize + c = - 5$

    <->    
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x - 2}\normalsize + c = - 5$

Stap 2 toepassen: Verkas alle termen met x naar een kant, en de rest naar de andere kant.
    <->     (door links en rechts c aftrekken)
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x - 2}\normalsize + c - c = - 5 - c$

    <->    
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x - 2}\normalsize = - 5 - c$

Stap 3 toepassen: Vermenigvuldig links en rechts met de top-level noemers waar x in voorkomt.     <->     (links en rechts keer de noemer met x)
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x - 2}\normalsize \small \bullet \normalsize ( - 3 \small \bullet \normalsize x - 2) = ( - 5 - c) \small \bullet \normalsize ( - 3 \small \bullet \normalsize x - 2)$

    <->     (gelijke factoren in teller en noemer mag je tegen elkaar wegstrepen):
$- \Large \frac{4}{- 3 \small \bullet \normalsize x - 2}\normalsize \small \bullet \normalsize ( - 3 \small \bullet \normalsize x - 2) = ( - 5 - c) \small \bullet \normalsize ( - 3 \small \bullet \normalsize x - 2) $     <->    
$- \Large \frac{4}{1}\normalsize = ( - 5 - c) \small \bullet \normalsize ( - 3 \small \bullet \normalsize x - 2)$

Goto stap 1, stap 1 toepassen: Vermenigvuldig alle haakjes met x uit
${- \Large \frac{4}{1}\normalsize = - 5 \small \bullet \normalsize - 3 \small \bullet \normalsize x + - 5 \small \bullet \normalsize - 2 + \ - c \small \bullet \normalsize - 3 \small \bullet \normalsize x + \ - c \small \bullet \normalsize - 2 } $     <->    
 − 4 = 15 • x + 10+ 3 • c • x+ 2 • c

Stap 2 toepassen: Verkas alle termen met x naar een kant, en de rest naar de andere kant.
(Alle termen zonder x naar links)
 − 4 − 10 − 2 • c = 15 • x + 10 − 10+ 3 • c • x+ 2 • c − 2 • c

    <->    

 − 14 − 2 • c = 15 • x+ 3 • c • x

Stap 3 hoeft niet (omdat x niet meer in een noemer voorkomt).
Stap 4 toepassen: Haal x buiten haakjes
 − 14 − 2 • c = x • (15+ 3•c)

Stap 5 toepassen: Deel links en rechts door de factor tussen haakjes.
(links en rechts delen door de haakjes achter x, gelijke factor in teller en noemer wegstrepen)
$\Large \frac{- 14 - 2 \small \bullet \normalsize c}{15 + \ 3 \small \bullet \normalsize c}\normalsize = x \small \bullet \normalsize \Large \frac{15 + \ 3 \small \bullet \normalsize c}{15 + \ 3 \small \bullet \normalsize c}\normalsize $

    <->    
${\Large \frac{- 14 - 2 \small \bullet \normalsize c}{15 + \ 3 \small \bullet \normalsize c}\normalsize = x}$
x staat nu in zijn eentje aan een kant van de vergelijking geschreven. Daarmee is x geen onbekende meer. Je weet nu voor elke keus van de bekende constante c voor welke waarde van x de vergelijking geldig is.

video eenvoudige vergelijking met 1 onbekende oplossen
video lastiger vergelijking met 1 onbekende oplossen

Een stelsel van meerdere vergelijkingen oplossen

In de voorbeelden hierboven hebbenen we 1 vergelijking met 1 onbekende opgelost.
In het algemeen kun je op systematische wijze n (onafhankelijke-) vergelijkingen met n onbekenden oplossen. De clue is om steeds een van de vergelijkingen en onbekenden te “elimineren” totdat je nog maar 1 vergelijking met 1 onbekende over hebt. Daarvan weten we dat je die makkelijk kunt oplossen.

Voor de volledigheid is hier een lijst met de stappen. Die stappen klinken voor de eerste keer nog wat vaag. Na het lezen van de voorbeelden zullen ze als het goed is duidelijk voor je zijn.

Stappen voor het oplossen van een stelsel van n vergelijkingen.

1.   Kies 1 van de vergelijkingen en kies daarvan 1 van de onbekenden.

2.   Herschrijf de vergelijking, zodat de gekozen onbekende aan een kant staat (op dezelfde manier als voorgaand).

3.   Markeer de vergelijking als “substitutievergelijking”,
en herschrijf de overige vergelijkingen door de gekozen onbekende in die vergelijkingen te vervangen door datgene wat uit de substitutievergelijking is gekomen.

NB: Die overige vergelijkingen zijn zonder die herschreven substitutievergelijking met 1 vergelijking minder, en vanwege de substitutie met een onbekende minder.

4.   Als er nog maar 1 vergelijking met 1 onbekende over is, kun je die oplossen als bovenstaand, en verdergaan naar stap 5.
Zo niet, goto 1.

5.   Vul de opgeloste onbekende in de laatste substitutievergelijking in.

6.   Dat levert de voorlaatste onbekende op.

7.   Vul de gevonden bekenden in de voorlaatste substitutievergelijking in.

8.   Dat levert de voor-voorlaatste onbekende op.

9.   Ga zo door tot de eerste substitutievergelijking. Alle onbekenden zijn dan bekend.

Voorbeeld

4 vergelijkingen met 4 onbekenden
t,x,y,z en 3 bekenden: a,b en c
We willen de 4 onbekenden oplosssen.

1.   c = x a

2.   y = z b + x a

3.   x = z

4.   t = $\Large \frac{y}{c}\normalsize $

Stap 1. In (3) staan onbekenden x en z al mooi aan een kant van de vergelijking. Ik kan een van beide dus substitueren (vervangen) in de overige vergelijkingen. Ik kies voor onbekende z, want die komt maar voor in 1 andere vergelijking, waardoor ik maar 1 substitutie hoeft te doen.
Ik markeer vergelijking (3) als subsitutievergelijking met een “*”:
3*   z = x

Deze vullen we in alle vergelijkingen in, in plaats van z. In dit geval is dat vergelijking (2).
Om aan te geven dat het om een nieuwe versie van (2) gaat, voegen we een accent (‘) toe:
2’   y = x b + x a

Na de substitutie met 3* is ons stelsel vergelijkingen gereduceerd tot drie vergelijkingen: (1), 2’ en 4, met eveens 3 onbekenden: x, y en t:

(1)   c = x a

2’   y = x b + x a

4 t = $\Large \frac{y}{c}\normalsize $

Stap 2. Dit keer kies ik de onbekende t uit, in vergelijking (4), omdat die al mooi aan een kant van de vergelijking staat. Met een * markeer ik dat het om een substitutievergelijking gaat, en dat we na de substitutie zonder die vergelijking verder kunnen.

4*   t = $\Large \frac{y}{c}\normalsize $

Met deze vergelijking kunnen we t substitueren in de overige vergelijkingen. Maar guess what, t komt niet voor in andere vergelijkingen. Da’s mooi, dan zijn we daar dus meteen mee klaar.

Ons stelsel vergelijkingen is nu gereduceerd tot 2 vergelijkingen: (1) en 2’.

(1) c = x a

2’   y = x b + x a

Stap 3. Dit keer kies ik onbekende x uit, in vergelijking 1. Eerst moet die vergelijking herschreven worden, zodanig dat x aan een kant staat.
1*   x = $\Large \frac{c}{a}\normalsize $

Met deze substitutievergelijking vervangen we alle x in de resterende vergelijkingen. In dit geval is dat alleen nog vergelijking 2’.

2’   y = $\Large \frac{c}{a}\normalsize \ b + \Large \frac{c}{a}\normalsize \ a$

Uiteindelijk hebben we dus 1 vergelijking over met 1 onbekende. Als we de onbekende aan een kant schrijven, hebben we hem opgelost, en is hij niet langer onbekend.
In dit geval is y de onbekende, en staat hij al aan een kant. Daarmee is y nu bekend.
We kunnen het eventueel nog wat compacter noteren (hoewel dat niet per se hoeft):
2’   y = $\Large \frac{c}{a}\normalsize \ (b + \ a)$

Stap 4. Nu we 1 onbekende opgelost hebben, kunnen we de rest van de onbekenden ook uitrekenen door alle substitutievergelijkingen in omgekeerde volgorde in te vullen.

We beginnen met de laatste substitutievergelijking:
1*   x = $\Large \frac{c}{a}\normalsize $

Die is niet afhankelijk van y. We hoeven y daar dus niet in in te vullen.
x in dit geval al uitgedrukt in termen van onbekenden – en daarmee ook opgelost.

Dan gaan we naar de voorlaatste substitutievergelijking:
4*   t = $\Large \frac{y}{c}\normalsize $

Daarin kunnen we de tot nu toe bekend geworden onbekenden x en y invullen (in dit geval alleen y):
4’   t = $\Large \frac{\Large \frac{c}{a}\normalsize \ (b + \ a)}{c} = \Large \frac{b + \ a}{a}\normalsize $

Dan gaan we door naar de eerste substitutievergelijking:
3*   z = x
Daarin kunnen we de tot nu toe bekend geworden onbekenden x, y en t invullen (in dit geval alleen x):
3’   z = $\Large \frac{c}{a}\normalsize $

Daarmee zijn alle onbekenden opgelost, en uitgedrukt in bekenden. Nog even op een rijtje:
z = $\Large \frac{c}{a}\normalsize$, t = $\Large \frac{b + \ a}{a}\normalsize$, x = $\Large \frac{c}{a}\normalsize$ en y = $\Large \frac{c}{a}\normalsize \ (b + \ a)$

Tips en Trucs

• Als je alleen geinteresseerd bent in een deel van de onbekenden, kun je beter eerst de overige onbekenden gebruiken voor substitutie.

• Als een onbekende in alle vergelijkingen samen met eenzelfde “kluitje” van alleen bekenden voorkomt, mag je ook in plaats van die onbekende dat complete kluitje substitueren.

Voorbeeld:

3 vergelijkingen met 3 onbekenden: x, y en z. a, b, c en d zijn bekende constanten.
(1)   x - b - $\Large \frac{y}{a}\normalsize $= 0
(2)   z = y – c
(3)   $d = \Large \frac{z}{x - b}\normalsize $

Stel, we zijn alleen geinteresseerd in y. Voor minimaal rekenwerk moeten we dus de overige onbekenden eerst substitueren:

Stap 1. We kiezen vergelijking (2) als substitutievergelijking voor z:
2*   z = y – c
Die vervangen we in de overige vergelijkingen. In dit geval alleen in vergelijking (3):
3’   $d = \Large \frac{y - c}{x - b}\normalsize $

We hebben dan alleen nog vergelijking (1) en vergelijking 3’ over:
(1)   x - b - $\Large \frac{y}{a}\normalsize $= 0
3’   $d = \Large \frac{y - c}{x - b}\normalsize $

Stap 2. We zien dat (x-b) een kluitje is met als enige onbekende x, en dat x in alle vergelijkingen als dat kluitje voorkomt. Je kunt dat dus als geheel subtitueren. Daarvoor herschrijven we (1) tot de volgende substitutievergelijking:
1*   x – b = $\Large \frac{y}{a}\normalsize $

Dit vervangen we in de overige vergelijkingen:
3’   $d = \Large \frac{y - c}{\Large \frac{y}{a}\normalsize }$

Nu hebben we nog maar 1 vergelijking over, met 1 onbekende (de gezochte onbekende y).
Die kunnen we oplossen met onze “Methode die altijd werkt”:
We zien dat y nog voorkomt in een top-level noemer: $d = \Large \frac{y - c}{\Large \frac{y}{a}\normalsize }$.
We vermenigvuldigen dus de volledige linkerkant en rechterkant met die noemer:
3’’   $d\Large \frac{y}{a}\normalsize = \Large \frac{y - c}{\Large \frac{y}{a}\normalsize }\Large \frac{y}{a}\normalsize $     <->    
vermenigvuldigen en delen door hetzelfde heffen elkaar op:

3’’’   $d\Large \frac{y}{a}\normalsize = \Large \frac{y - c}{\Large \textcolor{orange}{\frac{y}{a}} \normalsize }\Large \textcolor{orange}{\frac{y}{a}}\normalsize $    <->    
3’’’   $d\Large \frac{y}{a}\normalsize = y - c$

    <->     Alle termen met y naar een kant, de rest naar de andere kant,
door links en rechts y ervan af te trekken:
3’’’’’   $d\Large \frac{y}{a}\normalsize - y = y - y - c$     <->    
3’’’’’’   $d\Large \frac{y}{a}\normalsize - y = - c$

    <->     y buiten haakjes halen:
3’’’’’’’   $y(\Large \frac{d}{a}\normalsize - 1) = - c$

    <->     links en rechts delen door wat tussen de haakjes staat:
3’’’’’’’   $y = \Large \frac{- c}{\Large \frac{d}{a}\normalsize - 1}$

Nu is y geschreven in termen van bekenden, en dus ook uitgerekend.
Desgewenst kun je het nog wat mooier schrijven. Bijvoorbeeld door teller en noemer met a te vermenigvuldigen:
3’’’’’’’’   $y = \Large \frac{- ac}{d - a}\normalsize $ en het aantal mintekens verminderen door teller en noemer te vermenigvuldigen met -1:
3’’’’’’’’’   $y = \Large \frac{ac}{a - d}\normalsize $

video twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen
video drie vergelijkingen met drie onbekenden oplossen

Appendix (optioneel)

Een lastig voorbeeld:
Dit voorbeeld is lastiger dan wat je nodig hebt voor electronica. Dus als je het kunt volgen, is dat een goed teken, en zo niet - geen man overboord.

3 vergelijkingen met 3 onbekenden: x, y en z. a, b, c en d zijn bekende constanten.

.1   x + b = 2 z + d
.2   a x + b = c y
.3   d y + b = c z + 2

Stel we zijn alleen geinteresseerd in onbekende x. Dan moeten we de rest dus weg-substitueren.

Stap 1: ik kies ervoor y apart te schrijven in vergelijking 2 (omdat dat weinig werk lijkt).
Elke herschrijving markeer ik met een extra ‘, en het resultaat markeer ik met * om te markeren dat het een substitutievergelijking is:

.2   a x + b = c y     <->    
.2’   $\Large \frac{1}{c}\normalsize (ax + b) = \Large \frac{1}{c}\normalsize \ c\ y$    <->    
.2*   $\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize = y$ y komt niet voor in vergelijking 1. Die hoeven we dus niet te herschrijven.
y komt wel voor in vergelijking 3. Die moeten we wel herschrijven, met y in gevuld.
De geupdate versie van die vergelijking noemen we 3’ (na elke substitutie komt er een accent bij).

.3   d y + b = c z + 2     <->    
.3’   $d\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize + b = c\ z + 2$

We hebben nu 2 vergelijkingen over met 2 onbekenden: vergelijking 1 en vergelijking 3’.

Stap 2: ik kies er nu voor om z apart te schrijven in vergelijking 3 (omdat dat weinig werk lijkt).
De geupdate versie van die vergelijking noemen we 3* (markeren als substitutievergelijking).
.3’’   $d\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize + b = c\ z + 2$    <->    
.3’’’   $d\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize + b - 2 = c\ z + 2 - 2\ $    <->    
.3’’’’   $d\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize + b - 2 = c\ z$    <->    
.3’’’’’   $\Large \frac{d\Large \frac{ax + b}{c}\normalsize + b - 2}{c} = \Large \frac{c\ z}{c}\normalsize $    <->    
.3*   $d\Large \frac{ax + b}{c^{2}} + \Large \frac{b}{c}\normalsize - \Large \frac{2}{c}\normalsize = z$

We vullen z in in de overgebleven vergelijkingen. Dat is nu alleen nog vergelijking 1:

.1   x + b = 2 z + d      <->    
.1’   $x + b = 2\ (d\Large \frac{ax + b}{c^{2}} + \Large \frac{b}{c}\normalsize - \Large \frac{2}{c}\normalsize ) + d$     <->    
.1’’   $x + b = 2\ d\Large \frac{ax + b}{c^{2}} + 2\Large \frac{b}{c}\normalsize - 2\Large \frac{2}{c}\normalsize + d$     <->    
.1’’’   $x + b = 2\ d\Large \frac{ax}{c^{2}} + 2\ d\Large \frac{b}{c^{2}} + 2\Large \frac{b}{c}\normalsize - 2\Large \frac{2}{c}\normalsize + d$     <->    
.1’’’’   $x - 2\ d\Large \frac{ax}{c^{2}} = 2\ d\Large \frac{b}{c^{2}} + 2\Large \frac{b}{c}\normalsize - 2\Large \frac{2}{c}\normalsize + d - b$     <->    
.1’’’’   $x(1 - 2\ d\Large \frac{a}{c^{2}}) = 2\ d\Large \frac{b}{c^{2}} + 2\Large \frac{b}{c}\normalsize - 2\Large \frac{2}{c}\normalsize + d - b$     <->    
.1’’’’’   $x = \Large \frac{2\ d\Large \frac{b}{c^{2}} + 2\Large \frac{b}{c}\normalsize - 2\Large \frac{2}{c}\normalsize + d - b}{(1 - 2\ d\Large \frac{a}{c^{2}})}$

De laatste onbekende, x, kunnen we nu uitrekenen, omdat aan de rechterzijde allemaal bekenden staan. We kunnen de uitgerekende waarde van x vervolgens invullen in substitutievergelijking 3* om z te berekenen. De nu bekende x en z kunnen we vervolgens gebruiken om met substitutievergelijking 2* y te berekenen.

NB: de vergelijking voor x is eventueel nog wat te vereenvoudigen door teller en noemer te vermenigvuldigen met c²:
.1’’’’’’   $x = \Large \frac{2\ d\ b + 2bc - 4c + (d - b)c^{2}}{(c^{2} - 2\ d\ a)}$

This site is open source. Improve this page.